lc q518 round 0

Author: yihaoye

Leetcode Practices/algorithms/medium/518 Coin Change II.java

@@ -0,0 +1,103 @@
+/*
+You are given an integer array coins representing coins of different denominations and an integer amount representing a total amount of money.
+
+Return the number of combinations that make up that amount. If that amount of money cannot be made up by any combination of the coins, return 0.
+
+You may assume that you have an infinite number of each kind of coin.
+
+The answer is guaranteed to fit into a signed 32-bit integer.
+
+ 
+
+Example 1:
+
+Input: amount = 5, coins = [1,2,5]
+Output: 4
+Explanation: there are four ways to make up the amount:
+5=5
+5=2+2+1
+5=2+1+1+1
+5=1+1+1+1+1
+Example 2:
+
+Input: amount = 3, coins = [2]
+Output: 0
+Explanation: the amount of 3 cannot be made up just with coins of 2.
+Example 3:
+
+Input: amount = 10, coins = [10]
+Output: 1
+ 
+
+Constraints:
+
+1 <= coins.length <= 300
+1 <= coins[i] <= 5000
+All the values of coins are unique.
+0 <= amount <= 5000
+*/
+
+
+
+// My Solution (fixed by GPT):
+class Solution {
+    public int change(int amount, int[] coins) {
+        int[] dp = new int[amount + 1];
+        dp[0] = 1; // 有 1 种方法凑出 0 元：什么也不选
+
+        for (int coin : coins) {
+            for (int i = coin; i <= amount; i++) {
+                dp[i] += dp[i - coin]; // 把当前硬币加入组合
+            }
+        }
+        return dp[amount];
+    }
+}
+/*
+Why must loop coins outside and loop amounts (dp) inside but not vice versa
+
+本题的关键是「组合数」而不是「排列数」
+用一个具体例子来说明：
+
+金额=5，硬币=[1,2,5]
+跟踪dp数组的填充过程：
+
+金额i=1:
+    遍历硬币1: dp[1] += dp[0] = 0 + 1 = 1 (使用一个1元硬币)
+    遍历硬币2: dp[1] += dp[-1] (不合法，跳过)
+    遍历硬币5: dp[1] += dp[-4] (不合法，跳过)
+    结果: dp[1] = 1
+
+金额i=2:
+    遍历硬币1: dp[2] += dp[1] = 0 + 1 = 1 (使用一个1元硬币)
+    遍历硬币2: dp[2] += dp[0] = 1 + 1 = 2 (使用一个2元硬币)
+    遍历硬币5: dp[2] += dp[-3] (不合法，跳过)
+    结果: dp[2] = 2
+
+金额i=3开始错误:
+    遍历硬币1: dp[3] += dp[2] = 0 + 2 = 2 (使用一个1元硬币 + 之前凑2元的方法)
+    遍历硬币2: dp[3] += dp[1] = 2 + 1 = 3 (使用一个2元硬币 + 之前凑1元的方法)
+    遍历硬币5: dp[3] += dp[-2] (不合法，跳过)
+    结果: dp[3] = 3
+
+分析dp[3]=3的组成：
+得到了3种方式，但实际上组合数应该是2种：{1,1,1}, {1,2}
+为什么多计算了1种？因为{1,2}和{2,1}被当作不同的排列计算了
+
+问题的根本原因：
+当先考虑金额，后考虑硬币时，在每个金额i处，都在重新考虑所有硬币
+这意味着在不同顺序中可能多次使用同一种硬币
+例如在计算dp[3]时，既考虑了"先用硬币1再用硬币2"的情况，也考虑了"先用硬币2再用硬币1"的情况
+
+而外循环为硬币时，是按照硬币种类的固定顺序来构建解决方案，这确保了相同的组合只被计算一次，不管其元素的顺序如何。
+这就是为什么外循环为金额时计算的是排列数（考虑顺序），而题目要求的组合数（不考虑顺序）必须用外循环为硬币的方式来解决。
+
+而正确的解法（外层循环硬币）确保了每种硬币被考虑的顺序是固定的
+
+这样，对于每个硬币面值，按顺序考虑它可以如何构成各种金额。由于外层循环固定了考虑硬币的顺序，所以避免了重复计算组合。
+简单来说：
+外层循环硬币：计算的是组合数（不考虑顺序）
+外层循环金额：计算的是排列数（考虑顺序）
+
+题目要求组合数，所以必须把硬币循环放在外层。
+*/