linear sieve

Author: yihaoye

Common Algorithm and Theory/README.md

@@ -46,7 +46,8 @@ This personal Blog contains explanation and **Java library/template implementati
     - [动态规划, 状态机, 规则引擎 | Dynamic Programming, State Machine, Rule Engine](./动态规划与状态机.md) (动态规划本质上属于分治法的应用)
       - [前缀和, 差分, 树状数组, 线段树 | Prefix Sum, Difference, Binary Indexed Tree, Segment Tree](./前缀和与差分.md)
       - [记忆化搜索 | Memory Search](./记忆化搜索.md)
-      - [埃氏筛法 | Sieve of Eratosthenes](../Leetcode%20Practices/algorithms/medium/204%20Count%20Primes.java) (时间复杂度 `O(N*loglogN)`)
+      - [埃氏筛法 | Eratosthenes Sieve](../Leetcode%20Practices/algorithms/medium/204%20Count%20Primes.java) (向前动态规划+排除法，时间复杂度 `O(N*loglogN)`)
+        - [线性筛法 | Linear Sieve](../Leetcode%20Practices/algorithms/medium/204%20Count%20Primes.java) (埃氏筛法、欧拉筛法的优化，时间复杂度 `O(N)`)
       - [倍增法 | Binary Lifting](./倍增法.md) (时间复杂度 - 预处理 `O(N*logN)`，之后查询 `O(logN)`) ([倍增法与二分法的区别](./倍增法.md#二分-vs-倍增))
       - [弗洛伊德算法 | Floyd-Warshall Algorithm](./弗洛伊德算法.md) (时间复杂度 `O(N^3)`)
       - [Kadane 算法 | Kadane's Algorithm](./Kadane算法.md) (时间复杂度 `O(N)`)

Leetcode Practices/algorithms/medium/204 Count Primes.java

@@ -35,6 +35,33 @@ public int countPrimes(int n) {
 
 
 
+// Other's Solution 2:
+class Solution {
+    public int countPrimes(int n) {
+        // 线性筛法 - by ChatGPT，保证每个合数都只被其最小质因数筛去（因为合数都可以表示为一组纯质数的乘积），而不被其他质数重复筛去，从而达成性能优化
+        // 整个过程中，通过不断地更新最小质因数数组 minPrime，能够在时间复杂度为 O(n) 的情况下找到小于等于 n 的所有质数。
+        // 相比于朴素的埃氏筛法，减少了许多不必要的标记操作，从而提高了效率。其核心思想是避免多次标记同一个数，使得整个算法的时间复杂度相对较低。
+        // Time: O(N)
+        int[] minPrime = new int[n];
+        List<Integer> primes = new ArrayList<>();
+
+        for (int i = 2; i < n; i++) {
+            if (minPrime[i] == 0) { // 意味着 i 在前面的迭代没被设置过，所以是质数
+                minPrime[i] = i; // i 是当前正在处理的数，minPrime[i] 表示 i 的最小质因数
+                primes.add(i);
+            }
+
+            for (int j = 0; j < primes.size() && primes.get(j) <= minPrime[i] && i * primes.get(j) < n; j++) { // primes.get(j) <= minPrime[i]：确保 primes.get(j) 小于等于当前合数 i 的最小质因数
+                minPrime[i * primes.get(j)] = primes.get(j); // 将 minPrime[i * primes.get(j)] 设置为 primes.get(j)，表示合数 i * primes.get(j) 的最小质因数是 primes.get(j)
+            }
+        }
+
+        return primes.size();
+    }
+}
+
+
+
 // My Solution (Time Limit Exceeded):
 class MySolution {
     public int countPrimes(int n) {